Integres Schema/Invertierbarer Untermodul/Beschreibung/Bemerkung

Ein invertierbarer Untermodul ${}{\mathcal {L}}$ der konstanten Funktionenkörpergarbe ist gegeben durch eine offene Überdeckung ${}U_{i}$, ${}i\in I$, von ${}X$ zusammen mit von ${}0$ verschiedenen Elementen ${}q_{i}\in Q$, die die Bedingung ${}{\frac {q_{i}}{q_{j}}}\in {\left(\Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {O}}_{X}\right)}\right)}^{\times }$ erfüllen. Wenn man eine trivialisierende Überdeckung ${}U_{i}$ heranzieht, so ist

${}{\mathcal {L}}{|}_{U_{i}}\cong q_{i}{\mathcal {O}}_{U_{i}}\,,$

und aus den Übergangsabbildungen auf den Durchschnitten folgt, dass der Quotient ${}q_{i}/q_{j}$ eine Einheit sein muss. Wenn umgekehrt ein solcher Datensatz ${}(U_{i},q_{i})$ gegeben ist, so ist

${}q_{i}{\mathcal {O}}_{U_{i}}\subseteq {\mathcal {Q}}_{U_{i}}\,$

eine triviale Untergarbe, die auf ${}X$ eine invertierbare Untergarbe festlegt. Ein weiterer Gesichtspunkt ergibt sich aus der exakten Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {Q}}^{\times }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {Q}}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.$

Aufgrund von Fakt sind die beschriebenen Datensätze die globalen Schnitte aus der Quotientengarbe ${}{\mathcal {Q}}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }$.