Integrierbare Funktion/Abzählbare Zerlegung des Raumes/Fakt/Beweis

Beweis

Die beiden Subgraphen zum positiven und zum negativen Teil, also ${}S(f_{+})$ und ${}S(f_{-})$, haben endliches Maß, und es gilt

${}S(f_{+})=\biguplus _{i\in I}S(f_{+},M_{i})\,$

und

${}S(f_{-})=\biguplus _{i\in I}S(f_{-},M_{i})\,.$

Daher folgt die Aussage für die beiden Teile direkt aus der ${}\sigma$-Additivität des Maßes ${}\mu \otimes \lambda ^{1}$. Daraus folgt die Aussage für ${}f$ aus dem großen Umordnungssatz.

Zur bewiesenen Aussage