Integritätsbereich/Affines Schema/Rationale Funktion/Nennerideal/Bemerkung

Zu einem Integritätsbereich ${}R$ mit Quotientenkörper ${}Q(R)$ und einer rationalen Funktion ${}q\in Q(R)$ gibt es eine größte offene Menge ${}U\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$, auf der ${}q$ definiert ist. Es ist nämlich ${}U=D{\left({\mathfrak {a}}\right)}$ mit dem sogenannten Nennerideal

${}{\mathfrak {a}}={\left\{r\in R\mid rq\in R\right\}}\,.$

Wenn ${}q\in R_{\mathfrak {p}}$ gilt, so ist ${}q={\frac {s}{r}}$ mit ${}r\notin {\mathfrak {p}}$, ${}r$ gehört zum Nennerideal und somit ist ${}{\mathfrak {p}}\in D({\mathfrak {a}})$. Dieses Argument rückwärts gelesen ergibt die andere Implikation. Die Menge ${}D(f)$ ist der maximale Definitionsort für ${}1/f$.