Integritätsbereich/Gebrochenes Ideal/Einführung/Textabschnitt


Definition  

Es sei ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper . Dann nennt man einen endlich erzeugten -Untermodul des -Moduls ein gebrochenes Ideal.



Lemma  

Es sei ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper und sei eine Teilmenge. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist ein gebrochenes Ideal.
  2. Es gibt ein endlich erzeugtes Ideal in und ein Element , , derart, dass

    gilt.

Beweis  

Sei zunächst ein gebrochenes Ideal. Dann ist

Nach Übergang zu einem Hauptnenner kann man annehmen, dass ist. Dann hat man mit dem Ideal eine Beschreibung der gewünschten Art. Ist umgekehrt , so ist dies natürlich ein endlich erzeugter -Untermodul von .


Wie für Ideale spielen diejenigen gebrochenen Ideale, die von einem Element erzeugt sind, eine besondere Rolle.


Definition  

Es sei ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper . Dann nennt man ein gebrochenes Ideal der Form mit ein gebrochenes Hauptideal.

Aus Fakt ergibt sich sofort, dass für einen Hauptidealbereich jedes gebrochene Ideal ein gebrochenes Hauptideal ist.


Definition  

Es sei ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper . Dann definiert man für gebrochene Ideale und das Produkt als den von allen Produkten erzeugten -Untermodul von , also

wobei die Produkte in zu nehmen sind.

Wird das gebrochene Ideal als -Modul von erzeugt und wird das gebrochene Ideal von erzeugt, so wird das Produkt von den Produkten , , , erzeugt. Also ist das Produkt in der Tat wieder endlich erzeugt und damit ein gebrochenes Ideal. Für Ideale stimmt natürlich das Idealprodukt mit dem hier definierten Produkt von gebrochenen Idealen überein. Das Produkt von gebrochenen Hauptidealen ist wieder ein gebrochenes Hauptideal.