Integritätsbereich/Polynomring/Einheiten/Aufgabe/2/Lösung

Sei $a\in R^{\star }$ Einheit von $R$. Dann existiert ein $b\in R^{\star }$ mit $a\cdot b=1_{R}$. Sei nun $p_{a}=a\cdot X^{0},p_{b}=b\cdot X^{0}\in R\left[X\right]$. Dann ist $p_{a}\cdot p_{b}=a\cdot b\cdot X^{0}=1_{R}\cdot X^{0}=1_{R\left[X\right]}$. Also ist $R^{\star }\subset R\left[X\right]^{\star }$.

Sei $p,q\in R\left[X\right]^{\star },\deg p=n,\deg q=m$ und $p\cdot q=1_{R\left[X\right]}$. Mit $p=\sum _{k=0}^{n}a_{k}X^{k}$ und $q=\sum _{k=0}^{m}b_{k}X^{k}$ ist das Produkt von $p$ und $q$

$p\cdot q=\sum _{k=0}^{n+m}c_{k}X^{k}$

mit

$c_{k}=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}.$

So gilt für den Leitkoeffizienten $c_{n+m}=\sum _{i=0}^{n+m}a_{i}b_{n+m-i}$. Es ist aber $b_{n+m-i}=0$ für alle $i<n$ und $a_{i}=0$ für alle $i>n$. Also ist $c_{n+m}=a_{n}b_{m}$. Da $R$ Integritätsbereich, also nullteilerfrei ist, ist somit $c_{n+m}\neq 0$ und damit $\deg p\cdot q=n+m$. Daher ist $p\cdot q\neq 1_{R\left[X\right]}$, falls $n>0$ oder $m>0$ Also sind die Einheiten von $R\left[X\right]$ Polynome vom Grad $0$. Also gilt für $p$ und $q$ wie oben, dass $n=m=0$ und somit $1_{R\left[X\right]}=p\cdot q=a_{0}b_{0}X^{0}$, also $a_{0}b_{0}=1_{R}$. Und damit gilt $R\left[X\right]^{\star }\subset R^{\star }$.

$\square$