Wir behaupten
Wegen 0 ∉ I {\displaystyle {}0\notin I} ist entweder [ a , b ] ⊆ K + {\displaystyle {}[a,b]\subseteq K_{+}} oder [ a , b ] ⊆ K − {\displaystyle {}[a,b]\subseteq K_{-}} . Auf K + {\displaystyle {}K_{+}} und auf K − {\displaystyle {}K_{-}} ist die inverse Abbildung x ↦ x − 1 {\displaystyle {}x\mapsto x^{-1}} streng fallend. Somit ist
![{\displaystyle {}M=[b^{-1},a^{-1}]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b56814ba3ae4f9ec6a8d65d3a821633d9c66172)
ist entweder ![{\displaystyle {}[a,b]\subseteq K_{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ce2b4619fc34b413005e3e81bc074bb57282476)
oder ![{\displaystyle {}[a,b]\subseteq K_{-}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/026ab3f7e2ff042f6cad3f14bb81f1fbcc7bbb87)
. Auf
und auf 
ist die inverse Abbildung 
streng fallend. Somit ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}M&={\left\{x\in K\mid x^{-1}\in [a,b]\right\}}\\&={\left\{x\in K\mid a\leq x^{-1}\leq b\right\}}\\&={\left\{x\in K\mid a^{-1}\geq {\left(x^{-1}\right)}^{-1}\geq b^{-1}\right\}}\\&={\left\{x\in K\mid a^{-1}\geq x\geq b^{-1}\right\}}\\&=[b^{-1},a^{-1}].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f957e210a2031dfbda6e27123e42feb6a7d7eb9f)
