Intervallschachtelung/K/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Sei ein angeordneter Körper und sei die Menge aller Intervallschachtelungen auf . Wir sagen, dass zwei Intervallschachtelungen und zueinander verfeinerungsäquivalent sind, wenn folgendes gilt: Zu jedem gibt es ein mit und zu jedem gibt es ein mit .

  1. Zeige, dass die Verfeinerungsäquivalenz eine Äquivalenzrelation auf ist.
  2. Sei . Zeige, dass zwei verfeinerungsäquivalente Intervallschachtelungen die gleiche reelle Zahl definieren.
  3. Man gebe ein Beispiel für zwei reelle Intervallschachtelungen, die nicht verfeinerungsäquivalent sind, die aber die gleiche reelle Zahl definieren.