Intervallschachtelung/K/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und sei ${}M$ die Menge aller Intervallschachtelungen auf ${}K$. Wir sagen, dass zwei Intervallschachtelungen ${}I_{n},\,n\in \mathbb {N} ,$ und ${}J_{n},\,n\in \mathbb {N} ,$ zueinander verfeinerungsäquivalent sind, wenn folgendes gilt: Zu jedem ${}m\in \mathbb {N}$ gibt es ein ${}n\in \mathbb {N}$ mit ${}J_{n}\subseteq I_{m}$ und zu jedem ${}n\in \mathbb {N}$ gibt es ein ${}k\in \mathbb {N}$ mit ${}I_{k}\subseteq J_{n}$.

1. Zeige, dass die Verfeinerungsäquivalenz eine Äquivalenzrelation auf ${}M$ ist.
2. Sei ${}K=\mathbb {R}$. Zeige, dass zwei verfeinerungsäquivalente Intervallschachtelungen die gleiche reelle Zahl definieren.
3. Man gebe ein Beispiel für zwei reelle Intervallschachtelungen, die nicht verfeinerungsäquivalent sind, die aber die gleiche reelle Zahl definieren.

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