Invariantenring/Endliche Gruppe/Ganzheit/Fakt/Beweis

Beweis

Zu ${}f\in R$ betrachten wir das Produkt

${}P=\prod _{\sigma \in G}(X-f\sigma )\in R[X]\,.$

Die Koeffizienten dieses Polynoms gehören zum Invariantenring ${}R^{G}$. Ferner ist ${}P$ normiert und es ist ${}P(f)=0$ (da ja ${}X-fe_{G}=X-f$ ein Linearfaktor ist). Somit liefert ${}P$ eine Ganzheitsgleichung für ${}f$ über ${}R^{G}$ und daher ist ${}R^{G}\subseteq R$ ganz.

Zur bewiesenen Aussage