Invertierbare Matrix/Körper/Ähnlichkeit/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$-Matrix über ${}K$. Dann heißt ${}M$ invertierbar, wenn es eine weitere Matrix ${}A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit

${}A\circ M=E_{n}=M\circ A\,$

gibt.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper. Zu einer invertierbaren Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ heißt die Matrix ${}A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit

${}A\circ M=E_{n}=M\circ A\,$

die inverse Matrix von ${}M$. Man schreibt dafür

$M^{-1}.$

Das Produkt von invertierbaren Matrizen ist wieder invertierbar.

Definition

Zu einem Körper ${}K$ und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ nennt man die Menge aller invertierbaren ${}n\times n$-Matrizen mit Einträgen in ${}K$ die allgemeine lineare Gruppe über ${}K$. Sie wird mit ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ bezeichnet.

Definition

Zwei quadratische Matrizen ${}M,N\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix ${}B$ mit ${}M=BNB^{-1}$ gibt.

Nach Fakt sind zu einer linearen Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ die beschreibenden Matrizen bezüglich zweier Basen ähnlich zueinander.