Invertierbare Matrizen/2/Gruppenautomorphismus/Innen/Explizit/Aufgabe/Lösung

Die inverse Matrix zu ${}{\begin{pmatrix}4&7\\1&2\end{pmatrix}}$ ist ${}{\begin{pmatrix}2&-7\\-1&4\end{pmatrix}}$ . Mit dieser Matrix ist

{}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}4&7\\1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&-7\\-1&4\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}4x+7z&4y+7w\\x+2z&y+2w\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&-7\\-1&4\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}8x+14z-4y-7w&-28x-49z+16y+28w\\2x+4z-y-2w&-7x-14z+4y+8w\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}8x-4y+14z-7w&-28x+16y-49z+28w\\2x-y+4z-2w&-7x+4y-14z+8w\end{pmatrix}},\end{aligned}}

somit handelt es sich um eine Konjugation mit einer invertierbaren Matrix.