Irreduzibles Polynom/Positive Charakteristik/Einsetzung in separables Polynom/Fakt/Beweis

Beweis

Da ${}F$ irreduzibel ist, ist der Grad von ${}F$ mindestens ${}1$. Es sei ${}e$ der maximale Exponent derart, dass man ${}F=G(X^{p^{e}})$ mit einem Polynom ${}G\in K[X]$ schreiben kann. Dies muss es geben, da ${}G$ nicht konstant ist und daher der Grad von ${}G(X^{p^{e}})$ mindestens so groß wie ${}p^{e}$ ist. Das Polynom ${}G$ ist ebenfalls irreduzibel, da eine Zerlegung davon sofort zu einer Zerlegung von ${}F$ führt. Wegen der Maximalität von ${}e$ ist ${}G\not \in K[X^{p}]$. Daher ist ${}G'\neq 0$ und somit ist ${}G'$ teilerfremd zum irreduziblen Polynom ${}G$. Also ist ${}G$ nach Fakt separabel.

Zur bewiesenen Aussage