Irreduzibles Polynom/X^7129+105X^103+15X+45/Körper/Aufgabe/Lösung

a) Wir können das Eisenstein-Kriterium mit der Primzahl ${}5$ anwenden. Die ${}5$ teilt alle Koeffizienten von ${}P$ außer dem Leitkoeffizienten, und ${}5^{2}$ teilt nicht den konstanten Term. Also ist ${}P$ irreduzibel in ${}\mathbb {Q} [X]$.

b) Das Polynom hat ungeraden Grad, daher besitzt es aufgrund des Zwischenwertsatzes eine reelle Nullstelle und ist daher nicht irreduzibel in ${}\mathbb {R} [X]$.

c) Über ${}K=\mathbb {Z} /(2)$ wird das Polynom zu ${}X^{7129}+X^{103}+X+1$, das die Nullstelle ${}1$ besitzt. Also ist ${}P$ nicht irreduzibel in ${}\mathbb {Z} /(2)[X]$.

d) Zunächst ist ${}K$ ein Körper aufgrund von Teil (a). Es sei ${}t$ die Restklasse von ${}T$. In ${}K$ ist nach Konstruktion ${}P(t)=0$, also ist ${}t$ eine Nullstelle von ${}P$ und ${}P$ ist nicht irreduzibel in ${}K[X]$.

Zur gelösten Aufgabe