Isometrie/Eigentliche Isometrie/Matrix/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Abbildung

$M\longmapsto {\begin{pmatrix}M&0\\0&\det M\end{pmatrix}},$

wobei die beiden ${}0$ für eine Nullspalte bzw. eine Nullzeile der Länge ${}n$ stehen. Die orthogonale Matrix ${}M$ wird also auf eine Blockmatrix abgebildet, wobei die Matrix selbst einen ${}n\times n$-Block und die Determinante einen ${}1\times 1$-Block bildet. Dies Zuordnung ist injektiv, da sich ${}M$ aus dem Bild rekonstruieren lässt. Die Abbildung ist ein Gruppenhomomorphismus, da Blockmatrizen blockweise multipliziert werden. Die Matrix ${}{\begin{pmatrix}M&0\\0&\det M\end{pmatrix}}$ ist wieder orthogonal und ihre Determinante ist nach dem Entwicklungssatz gleich

${}\det M\cdot \det M=1\,,$

da die Determinante von ${}M$ nach Fakt

gleich ${}\pm 1$ ist.

Zur gelösten Aufgabe