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Jordan-Matrix/2/i/Potenzen/Konvergenzverhalten/Aufgabe/Lösung
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Jordan-Matrix/2/i/Potenzen/Konvergenzverhalten/Aufgabe
Es ist
(
i
1
0
i
)
n
=
(
(
i
0
0
i
)
+
(
0
1
0
0
)
)
n
=
(
i
0
0
i
)
n
+
n
(
i
0
0
i
)
n
−
1
∘
(
0
1
0
0
)
=
(
i
n
0
0
i
n
)
+
n
(
i
n
−
1
0
0
i
n
−
1
)
∘
(
0
1
0
0
)
=
(
i
n
0
0
i
n
)
+
n
(
0
i
n
−
1
0
0
)
=
(
i
n
n
i
n
−
1
0
i
n
)
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }&1\\0&{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}^{n}&={\left({\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }&0\\0&{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right)}^{n}\\&={\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }&0\\0&{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}^{n}+n{\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }&0\\0&{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}^{n-1}\circ {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }^{n}&0\\0&{\mathrm {i} }^{n}\end{pmatrix}}+n{\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }^{n-1}&0\\0&{\mathrm {i} }^{n-1}\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }^{n}&0\\0&{\mathrm {i} }^{n}\end{pmatrix}}+n{\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }^{n-1}\\0&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }^{n}&n{\mathrm {i} }^{n-1}\\0&{\mathrm {i} }^{n}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}
Der Eintrag rechts oben
n
i
n
−
1
{\displaystyle {}n{\mathrm {i} }^{n-1}}
besitzt den Betrag
n
{\displaystyle {}n}
und ist daher nicht beschränkt. Deshalb sind die Matrixpotenzen nicht beschränkt und somit auch nicht konvergent.
Zur gelösten Aufgabe