Jordanmatrix/Nilpotent/Kernfolge/Fahne/Aufgabe/Lösung

Die nilpotente ${}n\times n$-Jordanmatrix hat die Gestalt

${\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &\cdots &0\\0&0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&0&1\\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&0\end{pmatrix}}.$

Die zugehörige lineare Abbildung ${}\varphi$ ist also durch

$e_{1}\mapsto 0,\,e_{2}\mapsto e_{1},\,e_{3}\mapsto e_{2},\ldots ,e_{n-1}\mapsto e_{n-2}\,,e_{n}\mapsto e_{n-1}$

gegeben. Die ${}i$-te Iteration ${}\varphi ^{i}$ davon bildet somit ${}e_{k}$ auf

$e_{k-i},{\text{ falls }}k>i{\text{ und }}0,{\text{ falls }}k\leq i$

ab. Daher gehören die ${}e_{1},\ldots ,e_{i}$ zum Kern von ${}\varphi ^{i}$. Die Basisvektoren ${}e_{i+1},\ldots ,e_{n}$ werden hingegen unter ${}\varphi ^{i}$ auf die linear unabhängigen Vektoren ${}e_{1},\ldots ,e_{n-i}$ abgebildet. Daher ist der Rang gleich ${}n-i$ und es ist

${}\operatorname {kern} \varphi ^{i}=\langle e_{1},\ldots ,e_{i}\rangle \,$

mit der Dimension ${}i$. Die Kerne ${}\operatorname {kern} \varphi ^{i}$ bilden also eine aufsteigende Kette von Untervektorräumen, wobei die Dimensionen um ${}1$ wachsen. Es liegt also eine Fahne vor.

Zur gelösten Aufgabe