Jordansche Normalform/Diagonalisierbarer Anteil/Gleiche Eigenwerte/Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ eine trigonalisierbare lineare Abbildung mit der kanonischen additiven Zerlegung

${}\varphi =\varphi _{\rm {diag}}+\varphi _{\rm {nil}}\,$

im Sinne von Fakt. Zeige, dass die Eigenwerte von ${}\varphi$ und von ${}\varphi _{\rm {diag}}$ übereinstimmen. Gilt dies auch für ihre algebraische Vielfachheit, gilt dies für ihre geometrische Vielfachheit?

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