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Jordansche Normalform/Jordan-Matrix/4/Eigenwert 3/Zweite Potenz/Aufgabe/Lösung
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<
Jordansche Normalform/Jordan-Matrix/4/Eigenwert 3/Zweite Potenz/Aufgabe
Es ist
M
2
=
(
3
1
0
0
0
3
1
0
0
0
3
1
0
0
0
3
)
(
3
1
0
0
0
3
1
0
0
0
3
1
0
0
0
3
)
=
(
9
4
1
0
0
9
4
1
0
0
9
4
0
0
0
9
)
=:
N
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}M^{2}&={\begin{pmatrix}3&1&0&0\\0&3&1&0\\0&0&3&1\\0&0&0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&1&0&0\\0&3&1&0\\0&0&3&1\\0&0&0&3\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}9&4&1&0\\0&9&4&1\\0&0&9&4\\0&0&0&9\end{pmatrix}}\\&=:N.\end{aligned}}}
Wir bestimmen die Kerne zu den Potenzen von
N
−
9
E
4
{\displaystyle {}N-9E_{4}}
. Es ist
(
0
4
1
0
0
0
4
1
0
0
0
4
0
0
0
0
)
2
=
(
0
4
1
0
0
0
4
1
0
0
0
4
0
0
0
0
)
(
0
4
1
0
0
0
4
1
0
0
0
4
0
0
0
0
)
=
(
0
0
16
8
0
0
0
16
0
0
0
0
0
0
0
0
)
{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}0&4&1&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\\0&0&0&0\end{pmatrix}}^{2}&={\begin{pmatrix}0&4&1&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\\0&0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&4&1&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&0&16&8\\0&0&0&16\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}}
und
(
0
4
1
0
0
0
4
1
0
0
0
4
0
0
0
0
)
3
=
(
0
4
1
0
0
0
4
1
0
0
0
4
0
0
0
0
)
(
0
0
16
8
0
0
0
16
0
0
0
0
0
0
0
0
)
=
(
0
0
0
64
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
)
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}0&4&1&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\\0&0&0&0\end{pmatrix}}^{3}&={\begin{pmatrix}0&4&1&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\\0&0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&16&8\\0&0&0&16\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&0&0&64\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}
Zur gelösten Aufgabe