K^n/Linearform/Preis/2/Beispiel

Es stehen ${}n$ verschiedene Produkte zum Verkauf, wobei das ${}i$-te Produkt (pro Einheit) ${}a_{i}$ kostet. Ein Einkauf wird durch das ${}n$-Tupel

$\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$

repräsentiert, wobei ${}x_{i}$ die vom ${}i$-ten Produkt gekaufte Menge angibt. Der Preis des Einkaufs wird dann durch ${}\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}$ beschrieben. Die Preisabbildung

$\varphi \colon \mathbb {Q} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Q} ,\,\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}.$

ist linear. Dies beruht auf

${}\varphi (x+y)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}(x_{i}+y_{i})=\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}+\sum _{i=1}^{n}a_{i}y_{i}=\varphi (x)+\varphi (y)\,$

und

${}\varphi (sx)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}sx_{i}=s\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}=s\varphi (x)\,.$

Inhaltlich bedeutet dies beispielsweise, dass wenn man zuerst den Einkauf ${}\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ tätigt und eine Woche später den Einkauf ${}\left(y_{1},\,y_{2},\,\ldots ,\,y_{n}\right)$, dass dann der Preis der beiden Einkäufe zusammen dem Preis entspricht, den man bezahlt hätte, wenn man auf einen Schlag ${}\left(x_{1}+y_{1},\,x_{2}+y_{2},\,\ldots ,\,x_{n}+y_{n}\right)$ gekauft hätte.