K^n/x 1...x n/Richtungsableitung/Beispiel

Wir betrachten die polynomiale Funktion

$f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto x_{1}\cdots x_{n}.$

Die Richtungsableitung in Richtung ${}v=(v_{1},\ldots ,v_{n})$ in einem beliebigen Punkt

${}P=(x_{1},\ldots ,x_{n})\,$

ergibt sich durch Betrachten des Differenzenquotienten, also

${}{\begin{aligned}{\frac {(x_{1}+sv_{1})\cdot (x_{2}+sv_{2})\cdots (x_{n}+sv_{n})-x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}{s}}&={\frac {x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}+s{\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}{\frac {x_{1}\cdots x_{n}}{x_{i}}}\right)}+s^{2}g(s,x_{1},\ldots ,x_{n},v_{1},\ldots ,v_{n})-x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}{s}}\\&=\sum _{i=1}^{n}v_{i}{\frac {x_{1}\cdots x_{n}}{x_{i}}}+s\cdot g(s,x_{1},\ldots ,x_{n},v_{1},\ldots ,v_{n}).\,\end{aligned}}$

Dabei ist ${}g(s,x_{1},\ldots ,x_{n},v_{1},\ldots ,v_{n})$ eine polynomiale Funktion in ${}s$ (die $x_{1},\ldots ,x_{n}$ und die $v_{1},\ldots ,v_{n}$ sind fixierte Zahlen). Der Limes von ${}s\cdot g(s,x_{1},\ldots ,x_{n},v_{1},\ldots ,v_{n})$ geht für ${}s\rightarrow 0$ gegen ${}0$. Daher ist

${}{\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}=\sum _{i=1}^{n}v_{i}{\frac {x_{1}\cdots x_{n}}{x_{i}}}\,.$