Kähler-Differentiale/Gleichungen/Maximales Ideal/Extrinsischer Kotangentialraum/Bemerkung

In der Situation von Fakt kann man direkt eine Beziehung zwischen dem (extrinsischen) Tangentialraum, der als Kern der Jacobi-Matrix gegeben ist, und dem Dualraum zu ${}{\mathfrak {m}}_{P}/{\mathfrak {m}}_{P}^{2}$ stiften. Es sei

${}v={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\in T_{P}V=\operatorname {kern} \left(\operatorname {Jak} (f_{1},\ldots ,f_{m})_{P}\right)\,.$

Dies definiert eine Abbildung

${\mathfrak {m}}_{P}\longrightarrow K,\,g\longmapsto (dg)_{P}{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=v_{1}\partial _{1}g(P)+\cdots +v_{n}\partial _{n}g(P),$

dabei wird, in analytischer Sprache, einer Funktion ${}g$ die Auswertung in ${}P$ ihrer Richtungsableitung in Richtung ${}v$ zugeordnet. Die Kernbedingung stellt dabei sicher, dass Funktionen aus dem Ideal ${}(f_{1},\ldots ,f_{m})$ auf ${}0$ abgebildet werden und die Abbildung auf dem maximalen Ideal des Restklassenringes wohldefiniert ist. Nach der Produktregel wird dabei ${}{\mathfrak {m}}_{P}^{2}$ auf ${}0$ abgebildet und es ergibt sich eine ${}K$-lineare Abbildung

${\mathfrak {m}}_{P}/{\mathfrak {m}}_{P}^{2}\longrightarrow K.$