Kähler-Differentiale/Jacobi-Matrix/Kokern-Darstellung/Bemerkung

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und es sei ${}A$ eine kommutative endlich erzeugte ${}R$-Algebra, die als ${}A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F_{1},\ldots ,F_{k})$ gegeben sei. Dann ist nach Fakt  (4)

${}dF_{j}={\frac {\partial F_{j}}{\partial X_{1}}}dX_{1}+\cdots +{\frac {\partial F_{j}}{\partial X_{n}}}dX_{n}\,$

und nach Fakt gibt es eine exakte Sequenz

$A^{k}{\stackrel {M}{\longrightarrow }}A^{n}\longrightarrow \Omega _{A{|}R}\longrightarrow 0,$

wobei

${}M={\begin{pmatrix}{\frac {\partial F_{1}}{\partial X_{1}}}&\ldots &{\frac {\partial F_{k}}{\partial X_{1}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial F_{1}}{\partial X_{n}}}&\ldots &{\frac {\partial F_{k}}{\partial X_{n}}}\end{pmatrix}}\,$

die transponierte Jacobi-Matrix (ohne Auswertung an einem Punkt) ist. Die Standardvektoren ${}e_{j}$ werden auf ${}dX_{j}$ abgebildet und die Spaltenvektoren ${}{\begin{pmatrix}{\frac {\partial F_{j}}{\partial X_{1}}}\\\vdots \\{\frac {\partial F_{j}}{\partial X_{n}}}\end{pmatrix}}$, die die Nullelemente ${}dF_{j}$ repräsentieren, sind die Bilder der durch die Matrix gegebenen Abbildung.