Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe/Lösung

1. Für Elemente ${}x,y\in G$ setzt man ${}x\sim _{H}y$, wenn ${}x^{-1}y\in H$ gilt.
2. Ein Körper heißt endlich, wenn er endlich viele Elemente besitzt.
3. Man nennt einen Ringhomomorphismus

   $\varphi \colon R\longrightarrow S$

   einen ${}K$-Algebrahomomorphismus, wenn er zusätzlich mit den beiden fixierten Ringhomomorphismen ${}K\rightarrow R$ und ${}K\rightarrow S$ verträglich ist.

4. Man nennt die Menge der Charaktere

   ${}D^{\vee }:=\operatorname {Char} \,(D,K)={\left\{\chi :D\rightarrow K^{\times }\mid \chi {\text{ Charakter}}\right\}}\,$

   die Charaktergruppe von ${}G$ (in ${}K$).

5. Eine Zahl der Form ${}2^{2^{r}}+1$, wobei ${}r$ eine natürliche Zahl ist, heißt Fermat-Zahl.
6. Die Elemente ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in A$ heißen algebraisch unabhängig (über ${}R$), wenn für jedes vom Nullpolynom verschiedene Polynom ${}P\in R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ bei der Einsetzung

   ${}P(f_{1},\ldots ,f_{n})\neq 0\,$

   gilt.

Zur gelösten Aufgabe