Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/18/Aufgabe/Lösung

1. Eine Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ heißt endlich, wenn ${}L$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über ${}K$ ist.
2. Ein Untergruppe ${}H\subseteq G$ ist ein Normalteiler, wenn

   ${}xH=Hx\,$

   für alle ${}x\in G$ ist.

3. Eine Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ heißt eine Radikalerweiterung, wenn es Zwischenkörper

   ${}K\subseteq L_{1}\subseteq \ldots \subseteq L_{n-1}\subseteq L_{n}=L\,$

   derart gibt, dass ${}L_{i}\subseteq L_{i+1}$ für jedes ${}i$ eine einfache Radikalerweiterung ist.

4. Man nennt die Menge der Charaktere

   ${}D^{\vee }:=\operatorname {Char} \,(D,K)={\left\{\chi :D\rightarrow K^{\times }\mid \chi {\text{ Charakter}}\right\}}\,$

   die Charaktergruppe von ${}G$ (in ${}K$).

5. Man nennt die Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation, bei der zwei Elemente als äquivalent gelten, wenn sie durch einen inneren Automorphismus ineinander überführt werden können, die Konjugationsklassen.
6. Die Elemente ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in A$ heißen algebraisch unabhängig (über ${}R$), wenn für jedes vom Nullpolynom verschiedene Polynom ${}P\in R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ bei der Einsetzung

   ${}P(f_{1},\ldots ,f_{n})\neq 0\,$

   gilt.

Zur gelösten Aufgabe