Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/13/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper mit einer Charakteristik ${}\neq 2$ und es sei ${}K\subset L$ eine quadratische Körpererweiterung. Dann gibt es ein ${}x\in L$ , ${}x\notin K$ und ${}x^{2}\in K$.
2. Sei ${}K\subseteq L=K[f]$ eine einfache endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$. Dann hat das Minimalpolynom ${}P$ von ${}f$ die Gestalt

   ${}P=X^{n}-S(f)X^{n-1}+\cdots +(-1)^{n}N(f)\,.$

3. Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe und seien ${}K_{1},\ldots ,K_{r}$ die Konjugationsklassen von ${}G$ mit mindestens zwei Elementen. Dann ist

   ${}\operatorname {ord} _{}^{}{\left(G\right)}=\operatorname {ord} _{}^{}{\left(Z(G)\right)}+\sum _{i=1}^{r}{\#\left(K_{i}\right)}\,.$

Zur gelösten Aufgabe