Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/14/Aufgabe/Lösung

1. Die Einheitengruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ ist zyklisch mit der Ordnung ${}p-1$.
2. Sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}f\in L$ ein algebraisches Element. Dann gelten folgende Aussagen.
   1. Das Minimalpolynom ${}P$ von ${}f$ über ${}K$ ist irreduzibel.
   2. Wenn ${}Q\in K[X]$ ein normiertes, irreduzibles Polynom mit ${}Q(f)=0$ ist, so handelt es sich um das Minimalpolynom.
3. Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}0$ und sei ${}K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung. Dann ist die Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ genau dann auflösbar, wenn ihre Galoisgruppe ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ auflösbar ist.

Zur gelösten Aufgabe