Körper- und Galoistheorie/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}F\neq 0$. Dann gibt es eine (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutige Produktdarstellung

   ${}F=aF_{1}\cdots F_{r}\,$

   mit ${}a\in K^{\times }$ und irreduziblen normierten Polynomen

   ${}F_{i}$, ${}i=1,\ldots ,r$.
2. Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
   1. ${}P$ ist separabel.
   2. Es gibt eine Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ derart, dass ${}P$ über ${}L$ in einfache Linearfaktoren zerfällt.
   3. ${}P$ und die Ableitung ${}P'$ sind teilerfremd.
   4. ${}P$ und die Ableitung ${}P'$ erzeugen das Einheitsideal.
3. Es sei ${}K$ ein Grundkörper und ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung mit einer endlichen Transzendenzbasis. Dann besitzt jede Transzendenzbasis von ${}L$ über ${}K$ gleich viele Elemente.

Zur gelösten Aufgabe