Körper/Absolutbetrag/Definition

Absolutbetrag

Es sei ${}K$ ein Körper. Eine Funktion

$\vert {-}\vert \colon K\longrightarrow \mathbb {R} ,\,f\longmapsto \vert {f}\vert$

heißt Betrag (oder Absolutbetrag) auf ${}K$, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind.

1. Es ist ${}\vert {f}\vert \geq 0$ für alle ${}f$.
2. Es ist ${}\vert {f}\vert =0$ genau dann, wenn ${}f=0$ ist.
3. Es ist

   ${}\vert {fg}\vert =\vert {f}\vert \cdot \vert {g}\vert \,.$

4. Es ist

   ${}\vert {f+g}\vert \leq \vert {f}\vert +\vert {g}\vert \,.$