Körper/Charakteristik p/Vollkommen/Frobenius surjektiv/Aufgabe/Lösung

Es sei der Frobenius surjektiv, d.h. für jedes ${}a\in K$ gibt es ein ${}b\in K$ mit ${}a=b^{p}$. Es sei ${}F\in K[X]$ ein irreduzibles Polynom. Es ist zu zeigen, dass ${}F$ und ${}F'$ teilerfremd sind, und die einzige Möglichkeit, dass dies nicht der Fall ist, ist, dass

${}F'=0\,$

ist. In diesem Fall dürfen aber in ${}F$ nur Potenzen von ${}X$ vorkommen, deren Exponent ein Vielfaches von ${}p$ ist, also

${}F=a_{np}X^{np}+a_{(n-1)p}X^{(n-1)p}+\cdots +a_{2p}X^{2p}+a_{p}X^{p}+a_{0}\,.$

Es seien ${}b_{i}$ ${}p$-te Wurzeln aus ${}a_{ip}$. Dann ist mit

${}G=b_{n}X^{n}+b_{n-1}X^{n-1}+\cdots +b_{2}X^{2}+b_{1}X+b_{0}\,$

aber

${}F=G^{p}\,$

im Widerspruch zur Irreduzibilität von ${}F$.

Es sei nun der Frobenius nicht surjektiv, und es sei ${}a\in K$ ein Element, das in ${}K$ keine ${}p$-te Wurzel besitzt. Es sei ${}K\subseteq L$ ein Erweiterungskörper, in dem ${}a$ eine ${}p$-te Wurzel ${}c\in L$ besitzt. Den Körper ${}L$ erhält man als ${}L=K[X]/(F)$, wobei ${}F\in K[X]$ ein irreduzibler Teiler von ${}X^{p}-a$ ist. In ${}L[X]$ gilt

${}X^{p}-a=(X-c)^{p}\,$

und somit hat in ${}L[X]$ auch das Polynom ${}F$ mehrfache Nullstellen und ist somit nicht separabel.

Zur gelösten Aufgabe