Körper/F 9/Darstellung und primitives Element/Aufgabe/Lösung

In ${}\mathbb {Z} /(3)$ ist ${}2$ kein Quadrat, wie man direkt nachrechnet. Daher ist ${}X^{2}-2=X^{2}+1\in \mathbb {Z} /(3)[X]$ ein irreduzibles Polynom und daher ist der Restklassenring

$\mathbb {Z} /(3)[X]/(X^{2}+1)$

ein Körper. Jedes Element wird dabei eindeutig geschrieben in der Form ${}ax+b$ (${}x$ bezeichnet die Restklasse von ${}X$) mit ${}a,b\in \mathbb {Z} /(3)$, sodass es sich um einen Körper mit ${}9$ Elementen handelt.

Die Einheitengruppe von diesem Körper besitzt ${}8$ Elemente. Alle Elemente haben also eine Zweierpotenz als Ordnung, und wir brauchen ein Element der Ordnung ${}8$. Wir betrachten das Element ${}x+1$. Es ist

${}(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1=2x+3=2x\neq 1\,$

und

${}(2x)^{2}=4x^{2}=x^{2}=2\neq 1\,.$

Daher ist die Ordnung von ${}x+1$ weder ${}1$ noch ${}2$ noch ${}4$, also muss sie gleich ${}8$ sein und es liegt ein primitives Element vor.

Zur gelösten Aufgabe