Körper/Fixkörper zu endlicher Gruppe/Normal und separabel/Gradbedingung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}x\in L$ fixiert. Wir betrachten die endliche Menge

${}M={\left\{\varphi (x)\mid \varphi \in H\right\}}=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}\,,$

wobei ${}x_{1}=x$ sei. Wir setzen

${}F:=(X-x_{1})(X-x_{2})\cdots (X-x_{n})=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n-1}X^{n-1}+X^{n}\,$

($\in L[X]$). Es ist ${}F(x)=0$. Wir zeigen zuerst, dass die Koeffizienten ${}a_{i}$ dieses Polynoms zu ${}K$ gehören. Es sei dazu ${}\varphi \in H$. Dann ist

${}\sum _{i=0}^{n}\varphi (a_{i})X^{i}=\prod _{i=1}^{n}(X-\varphi (x_{i}))=\prod _{i=1}^{n}(X-x_{i})=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\,.$

Daher ist ${}\varphi (a_{i})=a_{i}$. Somit gehören die Koeffizienten zum Fixkörper ${}K=\operatorname {Fix} \,(H)$ und daher ist ${}F\in K[X]$. Dies bedeutet, dass ${}x$ algebraisch über ${}K$ ist, und dass sein Minimalpolynom einen Grad

${}\leq \operatorname {Grad} _{}^{}{\left(F\right)}=n={\#\left(M\right)}\leq {\#\left(H\right)}\,$

besitzt. Da ${}F$ über ${}L$ in Linearfaktoren zerfällt, und da alle Nullstellen von ${}F$ einfach sind, ist die Erweiterung normal und separabel.

Zur bewiesenen Aussage