Körper/Konstruktion der rationalen Zahlen aus Z/Aufgabe

In dieser Aufgabe nehmen wir an, dass die ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ mit ihren wesentlichen algebraischen Eigenschaften bekannt sind. Wir wollen die rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ ausgehend von ${}\mathbb {Z}$ konstruieren und nachweisen, dass es sich um einen Körper handelt. Dazu definieren wir auf der Produktmenge

$\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\})={\left\{(z,n)\mid z\in \mathbb {Z} {\text{ und }}n\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}\right\}}$

zunächst eine Äquivalenzrelation durch

$(z,n)\sim (z',n'){\text{ genau dann, wenn }}n'z=nz'.$

1. Zeige, dass dies wirklich eine Äquivalenzrelation ist. Es sei ${}Q$ die Menge der Äquivalenzklassen.
2. Definiere auf ${}Q$ eine Addition. Man achte insbesondere auf die Wohldefiniertheit.
3. Zeige, dass ${}Q$ mit der Addition eine kommutative Gruppe ist.
4. Definiere auf ${}Q$ eine Multiplikation.
5. Zeige, dass ${}Q\setminus \{0\}$ mit der Multiplikation ebenfalls eine kommutative Gruppe ist.
6. Zeige, dass ${}Q$ mit diesen Verknüpfungen ein Körper ist.
7. Wie findet man die ganzen Zahlen in ${}Q$ wieder?
8. Stimmen Addition und Multiplikation innerhalb von ${}\mathbb {Z}$ mit Addition und Multiplikation innerhalb von ${}Q$ überein?
9. Definiere eine Ordnung auf ${}Q$ derart, dass ${}Q$ zu einem archimedisch angeordneten Körper wird.

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