Körper/N und Z/Kanonische Abbildung/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass man jeder natürlichen Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ ein Körperelement ${}n_{K}$ zuordnen kann, derart, dass ${}0_{K}$ das Nullelement in ${}K$ und ${}1_{K}$ das Einselement in ${}K$ ist und dass

${}(n+1)_{K}=n_{K}+1_{K}\,$

gilt. Zeige, dass diese Zuordnung die Eigenschaften

$(n+m)_{K}=n_{K}+m_{K}{\text{ und }}(nm)_{K}=n_{K}\cdot m_{K}$

besitzt.

Erweitere diese Zuordnung auf die ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ und zeige, dass die angeführten strukturellen Eigenschaften ebenfalls gelten.

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