Körper/Nullstellen auf Polynomkoeffizienten/Eigenschaften/Aufgabe

Es sei ein Körper. Wir betrachten zu jedem die Abbildung

die einem Nullstellentupel das Koeffiziententupel (ohne die ) des normierten Polynoms

zuordnet.

  1. Beschreibe explizit für .
  2. Beschreibe explizit für .
  3. Begründe, dass die polynomiale Abbildungen sind.
  4. Zeige, dass die Fasern von endlich sind.
  5. Wann ist die Faser zu einem Tupel leer?
  6. Was ist die maximale Anzahl in einer Faser? Man gebe Beispiele, dass diese Maximalanzahl für erreicht wird.
  7. Sei nun algebraisch abgeschlossen. Zeige, dass surjektiv ist.