Wir führen Induktion über , dabei ist der Induktionsanfang
und auch
klar, da ein
Hauptidealbereich
ist. Es sei die Aussage also für bewiesen und sei ein maximales Ideal
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gegeben. Es ist
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ein maximales Ideal in . Nach Induktionsvoraussetzung wird von Elementen erzeugt, sagen wir
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Wir betrachten den injektiven Ringhomomorphismus
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der die Faktorisierung
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wobei die Abbildung rechts surjektiv ist. Da in der Mitte ein Hauptidealbereich steht, wird der Kern dieser Abbildung durch ein Element erzeugt. Somit ist
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