Körper/Potenzgesetze/Positiv bekannt/Aufgabe/Lösung
Für einen negativen Exponenten ist nach Definition
wobei das inverse Element zu bezeichnet.
- Wenn beide Exponenten nichtnegativ sind, ist das Ergebnis bekannt. Wenn beide Exponenten negativ sind, so setzen wir
und
und es ist
wobei wir für die zweite Gleichung das Potenzgesetz für nichtnegative Exponenten verwendet haben. Für den gemischten Fall können wir wegen der Symmetrie der Situation und als negativ annehmen. Dann ist
Bei schreiben wir
und das Produkt ist gleich
wobei wir für die dritte Gleichheit das dritte Potenzgesetz für nichtnegative Exponenten verwendet haben.
Bei schreiben wir
und das Produkt ist gleich
- Wenn beide Exponenten nichtnegativ sind, so ist die Aussage bekannt. Es seien beide Exponenten negativ, wobei wir die gleichen Buchstaben wie unter (1) verwenden. Dann ist
wobei wir verwendet haben, dass das Inverse von gleich ist und dass das Inverse des Inversen das Ausgangselement ist.
Wenn nichtnegativ und negativ ist, so ist
Wenn negativ und nichtnegativ ist, so ist
- Wir müssen nur den Fall
negativ behandeln. Dann ist