Körper/Rechenregeln/Textabschnitt

In einem Körper gilt die Klammerkonvention, dass die Multiplikation stärker bindet als die Addition. Man kann daher ${}a\cdot b+c\cdot d$ statt ${}(a\cdot b)+(c\cdot d)$ schreiben. Zur weiteren Notationsvereinfachung wird das Produktzeichen häufig weggelassen. Die besonderen Elemente ${}0$ und ${}1$ in einem Körper werden als Nullelement und als Einselement bezeichnet. Nach der Definition müssen sie verschieden sein.

Die wichtigsten Beispiele für einen Körper sind für uns die rationalen Zahlen und die reellen Zahlen.

Die additiven Körperaxiome kann man so lesen, dass die Menge ${}K$ zusammen mit dem ausgezeichneten Element ${}0$ und der Addition ${}+$ als Verknüpfung eine Gruppe bildet, die zusätzlich kommutativ ist. Ebenso bildet die Menge ${}K\setminus \{0\}$ (also ganz ${}K$ ohne die ${}0$) mit dem neutralen Element ${}1$ (das wegen der expliziten Voraussetzung der Körperaxiome von ${}0$ verschieden ist und daher zu ${}K\setminus \{0\}$ gehört) und der Multiplikation ${}\cdot$ eine (ebenfalls kommutative) Gruppe. Wenn ein Körper ${}K$ vorliegt, so hat man also zugleich zwei Gruppen vorliegen, es ist aber falsch zu sagen, dass ${}K$ auf zweifache Weise eine Gruppe ist, da einerseits ${}K$ mit der Addition und andererseits ${}K\setminus \{0\}$ (und eben nicht ${}K$) eine Gruppe mit der Multiplikation bildet.

Lemma

In einem Körper ${}K$ ist zu einem Element ${}x\in K$ das Element ${}y$ mit ${}x+y=0$ eindeutig bestimmt. Bei ${}x\neq 0$ ist auch das Element ${}z$ mit ${}xz=1$ eindeutig bestimmt.

Beweis

Dies folgt aus der allgemeinen Eindeutigkeitsaussage für inverse Elemente in jeder Gruppe.

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Zu einem Element ${}a\in K$ nennt man das nach diesem Lemma eindeutig bestimmte Element ${}b$ mit ${}a+b=0$ das Negative von ${}a$ und bezeichnet es mit ${}-a$. Statt ${}b+(-a)$ schreibt man abkürzend ${}b-a$ und spricht von der Differenz. Die Differenz ist also keine grundlegende Verknüpfung, sondern wird auf die Addition mit Negativen zurückgeführt.

Das zu ${}a\in K$, ${}a\neq 0$, nach diesem Lemma eindeutig bestimmte Element ${}c$ mit ${}ac=1$ nennt man das Inverse von ${}a$ und bezeichnet es mit ${}a^{-1}$.

Für ${}a,b\in K$, ${}b\neq 0$, schreibt man auch abkürzend

${}a/b:={\frac {a}{b}}:=ab^{-1}\,.$

Die beiden linken Ausdrücke sind also eine Abkürzung für den rechten Ausdruck.

In jedem Körper findet man die natürlichen Zahlen und auch die ganzen Zahlen wieder, und zwar wird die natürliche Zahl ${}n$ als die ${}n$-fache Summe von ${}1_{K}$ mit sich selbst in ${}K$ interpretiert. Entsprechend wird die negative Zahl ${}-n$ als die ${}n$-fache Summe von ${}-1_{K}$ interpretiert, siehe die Aufgaben. Zu einem Körperelement ${}a\in K$ und ${}n\in \mathbb {N}$ wird ${}a^{n}$ als das ${}n$-fache Produkt von ${}a$ mit sich selbst definiert, und bei ${}a\neq 0$ wird ${}a^{-n}$ als ${}(a^{-1})^{n}$ interpretiert.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}a,b,c,a_{1},\ldots ,a_{r},b_{1},\ldots ,b_{s}$ Elemente aus ${}K$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. ${}a0=0$ (Annullationsregel).

2. ${}(-a)b=-ab=a(-b)\,$

   (Vorzeichenregel).

3. ${}(-a)(-b)=ab\,.$

4. ${}a(b-c)=ab-ac\,$

5. Aus ${}a\cdot b=0$ folgt ${}a=0$ oder ${}b=0$ (Nichtnullteilereigenschaft).
6. ${}{\left(\sum _{i=1}^{r}a_{i}\right)}{\left(\sum _{k=1}^{s}b_{k}\right)}=\sum _{1\leq i\leq r,\,1\leq k\leq s}a_{i}b_{k}$ (allgemeines Distributivgesetz).

Beweis

1. Es ist ${}a0=a(0+0)=a0+a0$. Durch beidseitiges Abziehen (also Addition mit dem Negativen von $a0$) von ${}a0$ ergibt sich die Behauptung.

2. ${}(-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0\,$

   nach Teil (1). Daher ist ${}(-a)b$ das

   (eindeutig bestimmte) Negative von ${}ab$. Die zweite Gleichheit folgt analog.

3. Nach (2) ist ${}(-(-a))b=(-a)(-b)$ und wegen ${}-(-a)=a$ folgt die Behauptung.
4. Dies folgt auch aus dem bisher Bewiesenen.
5.  Nehmen wir an, dass ${}a$ und ${}b$ beide von ${}0$ verschieden sind. Dann gibt es dazu inverse Elemente ${}a^{-1}$ und ${}b^{-1}$ und daher ist ${}(ab){\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=1$. Andererseits ist aber nach Voraussetzung ${}ab=0$ und daher ist nach der Annullationsregel

   ${}(ab){\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=0{\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=0\,,$

    sodass sich der Widerspruch

   ${}0=1$ ergibt.

6. Dies folgt aus einer Doppelinduktion, siehe Aufgabe.

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