Körper/Ringhomomorphismus/Injektiv/Beweise direkt/Aufgabe/Lösung

Es seien ${}a,b\in K$ vorgegeben, und sei angenommen, dass ${}\varphi (a)=\varphi (b)$ ist. Dann ist

${}\varphi (a-b)=\varphi (a)-\varphi (b)=0\,.$

Wenn ${}a-b\neq 0$ wäre, so wäre dies eine Einheit, d.h. es gäbe ein ${}x\in K$ mit ${}x(a-b)=1$. Dann wäre

${}\varphi (x)0=\varphi (x)\varphi (a-b)=\varphi (x(a-b))=\varphi (1)=1\,.$

Aus ${}\varphi (x)0=\varphi (x)(0+0)=\varphi (x)0+\varphi (x)0$ folgt daraus ${}\varphi (x)0=0$, also ${}0=1$ im Widerspruch zur Voraussetzung an ${}R$. Also ist ${}a-b=0$ und ${}a=b$.

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