Körpererweiterung/Q/X^2+1/Algebraische Sichtweise/Beispiel

Wir betrachten das Polynom ${}X^{2}+1$, dessen Koeffizienten zu ${}\mathbb {Q}$ gehören und das in ${}\mathbb {Q}$ (und auch in ${}\mathbb {R}$) keine Nullstelle besitzt. In den komplexen Zahlen besitzt es die beiden Nullstellen ${}{\mathrm {i} }$ und ${}-{\mathrm {i} }$, so dass in ${}{\mathbb {C} }[X]$ die Faktorzerlegung

${}X^{2}+1=(X-{\mathrm {i} })(X+{\mathrm {i} })\,$

vorliegt. Um dies hinschreiben zu können, braucht man aber nicht die gesamten komplexen Zahlen, sondern lediglich das Element ${}{\mathrm {i} }$. Wir betrachten die Menge

$\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]=\mathbb {Q} 1+\mathbb {Q} {\mathrm {i} }={\left\{a+b{\mathrm {i} }\mid a,b\in \mathbb {Q} \right\}},$

also einen zweidimensionalen ${}\mathbb {Q}$-Vektorraum mit den Basiselementen ${}1$ und ${}{\mathrm {i} }$, wobei zusätzlich noch eine Multiplikation durch die Bedingung ${}{\mathrm {i} }^{2}=-1$ festgelegt wird. Dies ist die gleiche Konstruktion, mit der man aus ${}\mathbb {R}$ die komplexen Zahlen gewinnt, nur dass man hier von den rationalen Zahlen ausgeht. Es lässt sich leicht zeigen, dass das konstruierte Objekt ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ ein Körper ist. Für ein von ${}0$ verschiedenes Element ${}a+b{\mathrm {i} }$ ist

${\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}{\mathrm {i} }$

das inverse Element, und dies gehört offenbar wieder zu ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$. Die Zerlegung ${}X^{2}+1=(X-{\mathrm {i} })(X+{\mathrm {i} })$ gilt ebenfalls in ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }][X]$, und durch die Zuordnung ${}a+b{\mathrm {i} }\mapsto a-b{\mathrm {i} }$ gibt es auch eine Konjugation, die völlig analoge Eigenschaften hat wie die komplexe Konjugation in ${}{\mathbb {C} }$.