Körpererweiterung/Q/X^2-3/Algebraische Sichtweise/Beispiel

Wir betrachten das Polynom ${}X^{2}-3$, dessen Koeffizienten zu ${}\mathbb {Q}$ gehören. In den reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ besitzt dieses Polynom die Nullstelle ${}{\sqrt {3}}$, die irrational ist. Über ${}\mathbb {R}$ hat man die Zerlegung ${}X^{2}-3=(X-{\sqrt {3}})(X+{\sqrt {3}})$. Um dies auszudrücken, braucht man aber nicht die gesamten reellen Zahlen, sondern lediglich ${}{\sqrt {3}}$, das man einfach als ein Symbol auffassen kann mit der Eigenschaft, dass sein Quadrat gleich ${}3$ sein soll. Eine „Verortung“ innerhalb der reellen Zahlen ist dazu nicht nötig. Präziser formuliert betrachtet man

${}L=\mathbb {Q} 1+\mathbb {Q} u={\left\{a+bu\mid a,b\in \mathbb {Q} \right\}}\,,$

also einen zweidimensionalen ${}\mathbb {Q}$-Vektorraum mit den Basiselementen ${}1$ und ${}u$, wobei eine Multiplikation durch die Bedingung ${}u^{2}=3$ (und distributive Fortsetzung) festgelegt wird. Das Element ${}u$ ist hier lediglich ein Symbol, für das man häufig wegen der intendierten Eigenschaft auch ${}{\sqrt {3}}$ schreibt (man schreibt auch ${}L=\mathbb {Q} [{\sqrt {3}}]$). In ${}L$ gilt die Zerlegung ${}X^{2}-3=(X-u)(X+u)$, und wegen

${}(a+bu){\left({\frac {a}{a^{2}-3b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}-3b^{2}}}u\right)}={\frac {a^{2}-3b^{2}}{a^{2}-3b^{2}}}=1\,$

handelt es sich um einen Körper. Dazu muss man sich klar machen, dass bei ${}a+bu\neq 0$ mit rationalen Zahlen ${}a,b\in \mathbb {Q}$, die nicht beide ${}0$ sind, auch ${}a^{2}-3b^{2}\neq 0$ ist, was äquivalent zur Irrationalität von ${}{\sqrt {3}}$ ist. Es sind also wesentliche Eigenschaften des Polynoms ${}X^{2}-3$, die über ${}\mathbb {R}$ sichtbar werden, bereits über ${}L$ sichtbar. Es gibt aber auch Unterschiede, beispielsweise sind bei dieser algebraischen Konstruktion von ${}L$ die beiden Elemente ${}u$ und ${}-u$ vollkommen gleichberechtigt, während innerhalb der reellen Zahlen die eine Quadratwurzel positiv und die andere negativ ist. Diese Gleichberechtigung zeigt sich auch darin, dass durch

$L\longrightarrow L,\,a+bu\longmapsto a-bu,$

eine „Konjugation“ definiert wird, die es innerhalb der reellen Zahlen nicht gibt.