Körpererweiterung/Separabel und Differentiale/Textabschnitt

Satz

Eine endliche Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ ist genau dann étale, wenn sie separabel ist.

Beweis

Es sei zunächst ${}K\subseteq L$ separabel und ${}x\in L$. Das Minimalpolynom ${}F\in K[X]$ von ${}x$ ist separabel, daher ist nach Fakt ${}F'(x)\neq 0$. Somit folgt aus

${}0=dF(x)=F'(x)dx\,,$

dass

${}dx=0\,$

ist.
Es sei nun umgekehrt ${}\Omega _{L{|}K}=0$ vorausgesetzt. Wir verwenden den separablen Abschluss ${}K\subseteq S\subseteq L$ und müssen ${}S=L$ zeigen.  Wir nehmen an, dass ${}S\neq L$ ist. Dann gibt es eine Kette

${}S\subseteq S(x_{1})\subseteq S(x_{1},x_{2})\subseteq \ldots \subseteq S(x_{1},\ldots ,x_{n})=L\,,$

wobei wir ${}M=S(x_{1},\ldots ,x_{n-1})\neq L$ annehmen können. Da ${}S\subseteq L$ nach Fakt  (3) rein-inseparabel ist, ist nach Fakt auch ${}M\subseteq L=M(x_{n})$ rein-inseparabel. Daher ist das Minimalpolynom von ${}x_{n}$ über ${}M$ gleich ${}X^{q}-a$ mit ${}a\in M$ und ${}q=p^{e}$ mit ${}e\geq 1$. Also ist ${}L=M[X]/(X^{q}-a)$ und daher ist

${}\Omega _{L{|}M}\cong LdX/(X^{q}-a)'dX\cong LdX\neq 0\,$

nach Fakt. Daher ist auch ${}\Omega _{L{|}K}\neq 0$ aufgrund von Fakt im Widerspruch zur Voraussetzung.

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