Start
Zufällige Seite
Anmelden
Einstellungen
Spenden
Über Wikiversity
Haftungsausschluss
Suchen
Körpererweiterung/X^3-3X+1/Nullstelle/Zerfällt/Aufgabe/Lösung
Sprache
Beobachten
Bearbeiten
<
Körpererweiterung/X^3-3X+1/Nullstelle/Zerfällt/Aufgabe
Dies beruht unter Verwendung von
α
3
=
3
α
−
1
{\displaystyle {}\alpha ^{3}=3\alpha -1\,}
auf den Rechnungen
β
3
−
3
β
+
1
=
(
α
2
−
2
)
3
−
3
(
α
2
−
2
)
+
1
=
α
6
−
6
α
4
+
12
α
2
−
8
−
3
α
2
+
6
+
1
=
α
6
−
6
α
4
+
9
α
2
−
1
=
9
α
2
−
6
α
+
1
−
6
α
(
3
α
−
1
)
+
9
α
2
−
1
=
0
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\beta ^{3}-3\beta +1&={\left(\alpha ^{2}-2\right)}^{3}-3{\left(\alpha ^{2}-2\right)}+1\\&=\alpha ^{6}-6\alpha ^{4}+12\alpha ^{2}-8-3\alpha ^{2}+6+1\\&=\alpha ^{6}-6\alpha ^{4}+9\alpha ^{2}-1\\&=9\alpha ^{2}-6\alpha +1-6\alpha {\left(3\alpha -1\right)}+9\alpha ^{2}-1\\&=0\end{aligned}}}
und
γ
3
−
3
γ
+
1
=
−
(
α
2
+
α
−
2
)
3
+
3
(
α
2
+
α
−
2
)
+
1
=
−
α
6
−
3
α
5
+
3
α
4
+
11
α
3
−
6
α
2
−
12
α
+
8
+
3
α
2
+
3
α
−
6
+
1
=
−
(
3
α
−
1
)
2
−
3
α
2
(
3
α
−
1
)
+
3
α
(
3
α
−
1
)
+
11
(
3
α
−
1
)
−
3
α
2
−
9
α
+
3
=
−
9
α
2
+
6
α
−
9
(
3
α
−
1
)
+
3
α
2
+
9
α
2
−
3
α
+
33
α
−
11
−
3
α
2
−
9
α
+
2
=
−
9
α
2
+
6
α
−
27
α
+
9
+
3
α
2
+
9
α
2
−
3
α
+
33
α
−
11
−
3
α
2
−
9
α
+
2
=
0.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\gamma ^{3}-3\gamma +1&=-{\left(\alpha ^{2}+\alpha -2\right)}^{3}+3{\left(\alpha ^{2}+\alpha -2\right)}+1\\&=-\alpha ^{6}-3\alpha ^{5}+3\alpha ^{4}+11\alpha ^{3}-6\alpha ^{2}-12\alpha +8+3\alpha ^{2}+3\alpha -6+1\\&=-{\left(3\alpha -1\right)}^{2}-3\alpha ^{2}{\left(3\alpha -1\right)}+3\alpha {\left(3\alpha -1\right)}+11{\left(3\alpha -1\right)}-3\alpha ^{2}-9\alpha +3\\&=-9\alpha ^{2}+6\alpha -9{\left(3\alpha -1\right)}+3\alpha ^{2}+9\alpha ^{2}-3\alpha +33\alpha -11-3\alpha ^{2}-9\alpha +2\\&=-9\alpha ^{2}+6\alpha -27\alpha +9+3\alpha ^{2}+9\alpha ^{2}-3\alpha +33\alpha -11-3\alpha ^{2}-9\alpha +2\\&=0.\end{aligned}}}
Zur gelösten Aufgabe
