Körpererweiterungen von Q vom Grad 3/Reine Gleichung/Koeffizienten und Ganzheit/Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Betrachte die endliche Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq L=\mathbb {Q} [X]/(X^{3}-p)\,$

vom Grad ${}3$. Sei ${}f=aX^{2}+bX+c\in L$ ein Element davon mit ${}a,b,c\in \mathbb {Q}$. Berechne das Minimalpolynom von ${}f$ und man gebe die Koeffizienten davon explizit an. Bestimme insbesondere die Norm und die Spur von ${}f$.

Welche Bedingungen an ${}a,b,c$ ergeben sich aus der Voraussetzung, dass ${}f$ ganz über ${}\mathbb {Z}$ ist?

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