Körpertheorie/Qi/Inverse von 3/7+2/5 i/Aufgabe/Lösung

Wir multiplizieren ${}{\frac {3}{7}}+{\frac {2}{5}}{\mathrm {i} }$ mit seinem konjugierten Element und erhalten

${\left({\frac {3}{7}}+{\frac {2}{5}}{\mathrm {i} }\right)}{\left({\frac {3}{7}}-{\frac {2}{5}}{\mathrm {i} }\right)}={\frac {9}{49}}+{\frac {4}{25}}={\frac {225+196}{1225}}={\frac {421}{1225}}.$

Daher ist

${}{\left({\frac {3}{7}}+{\frac {2}{5}}{\mathrm {i} }\right)}^{-1}={\frac {1225}{421}}{\left({\frac {3}{7}}-{\frac {2}{5}}{\mathrm {i} }\right)}={\frac {3675}{2947}}-{\frac {2450}{2105}}{\mathrm {i} }={\frac {3675}{2947}}-{\frac {490}{421}}{\mathrm {i} }\,.$

Wir überprüfen mittels dem euklidischen Algorithmus, ob die Brüche gekürzt sind oder ob man sie noch vereinfachen kann. Rechts ergibt sich

$490=1\cdot 421+69$

$421=6\cdot 69+7$

$69=9\cdot 7+6$

$7=1\cdot 6+1,$

sodass Zähler und Nenner teilerfremd sind und die Darstellung gekürzt ist. Links ergibt sich

$3675=1\cdot 2947+728$

$2947=4\cdot 728+35$

$728=20\cdot 35+28$

$35=1\cdot 28+7$

$28=4\cdot 7+0.$

Daher ist ${}7$ der größte gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner, und wir können durch ${}7$ kürzen. Es ist

$3675/7=525{\text{ und }}2947=7\cdot 421,$

also ist

${}{\left({\frac {3}{7}}+{\frac {2}{5}}{\mathrm {i} }\right)}^{-1}={\frac {525}{421}}-{\frac {490}{421}}{\mathrm {i} }\,.$

Zur gelösten Aufgabe