K-Algebra/Algebraischer Kotangentialraum an K-Punkt/Direkte Derivation/Fakt/Beweis

Beweis

Es liegt eine kanonische Isomorphie ${}K\rightarrow R/{\mathfrak {m}}$ zwischen dem Grundkörper und dem Restekörper vor. Die Abbildung ist wohldefiniert, da wegen ${}(f-f(P))(P)=0$ die Funktion ${}f-f(P)$ zum maximalen Ideal gehört. Die ${}K$-Linearität ist trivial. Die Produktregel folgt aus (im dritten Schritt wird ein Element aus ${}{\mathfrak {m}}^{2}$ addiert)

${}{\begin{aligned}d(fg)&=fg-(fg)(P)\\&=fg-f(P)g(P)\\&=fg-f(P)g(P)+(f-f(P))(g-g(P))\\&=2fg-f\cdot g(P)-g\cdot f(P)\\&=f(g-g(P))+g(f-f(P))\\&=fdg+gdf.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage