K-Modallogik/Vollständigkeit/Fakt/Beweis

Beweis

Die Hinrichtung ergibt sich aus Fakt. Für die Rückrichtung nehmen wir

$\Gamma \not \vdash \alpha$

an. Dann ist

${}\Gamma '=\Gamma \cup \{\neg \alpha \}\,$

(aussagenlogisch) nicht widersprüchlich und wir müssen zeigen, dass ${}\Gamma '$ durch ein ${}\Gamma$-modallogisches Modell erfüllbar ist. Wir betrachten dazu das ${}\Gamma$-universelle modallogische Modell ${}(U_{\Gamma },R,\nu )$, in dem ${}\Gamma$ (in jedem Weltpunkt) gilt. Nach Fakt gibt es eine maximal widerspruchsfreie ${}\Gamma '$-Ausdrucksmenge ${}{\tilde {\Gamma }}$, die wir als Welt ${}W={\tilde {\Gamma }}$ in ${}U_{\Gamma }$ betrachten können. Nach Fakt gilt ${}W\vDash {\tilde {\Gamma }}$, was insbesondere die Gültigkeit von ${}\Gamma \cup \{\neg \alpha \}$ in ${}W$ zeigt.

Zur bewiesenen Aussage