K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossen/Punkt/Halm ist Lokalisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Der Halm ${}{\mathcal {O}}_{P}$ hat eine eindeutige Struktur als ${}R$-Algebra, da ja die Gesamtmenge zum Filter gehört. Es sei ${}F\in R$, ${}F\not \in {\mathfrak {m}}$. Dann ist ${}1/F$ auf der offenen Umgebung ${}D(F)$ von ${}P$ definiert. Dabei gilt dort ${}F\cdot 1/F=1$, sodass ${}F$ in dieser Menge und damit auch im Kolimes eine Einheit ist. Nach der universellen Eigenschaft der Nenneraufnahme gibt es also einen ${}R$-Algebrahomomorphismus

$R_{\mathfrak {m}}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{P},$

den wir als bijektiv nachweisen müssen. Es sei zuerst ${}f\in {\mathcal {O}}_{P}$. Dieses Element wird repräsentiert durch eine algebraische Funktion ${}f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}})$ mit ${}P\in U$. Insbesondere gibt es eine rationale Darstellung für ${}f$ in ${}P$, d.h. ${}f=G/H$ auf ${}D(H)$ und ${}P\in D(H)$. Daher ist ${}G/H$ ein Element in der Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {m}}$, und dieses wird auf ${}f$ geschickt.

Zur Injektivität sei ${}G/H$ gegeben mit ${}H\notin {\mathfrak {m}}$ und vorausgesetzt, dass es als Element im Halm ${}0$ ist. Dies bedeutet, dass es eine offene Umgebung ${}U$ von ${}P$ gibt, auf der ${}G/H$ die Nullfunktion ist. Wir können annehmen, dass diese offene Menge die Form ${}P\in D(H')\subseteq D(H)$ hat. Wegen Fakt gibt es dann auch eine Beschreibung ${}G/H=G'/H'=0$. Das heisst nach Fakt, dass ${}HH'H'G=0$ in ${}R$ ist. Dann ist auch ${}G/H=0$ in der Lokalisierung.

Zur bewiesenen Aussage