Der Halm
hat eine eindeutige Struktur als
-Algebra, da ja die Gesamtmenge zum Filter gehört. Es sei
,
.
Dann ist
auf der offenen Umgebung
von
definiert. Dabei gilt dort
,
sodass
in dieser Menge und damit auch im Kolimes eine Einheit ist. Nach der universellen Eigenschaft der Nenneraufnahme gibt es also einen
-Algebrahomomorphismus
-
den wir als bijektiv nachweisen müssen. Es sei zuerst
.
Dieses Element wird repräsentiert durch eine algebraische Funktion
mit
.
Insbesondere gibt es eine rationale Darstellung für
in
, d.h.
auf
und
.
Daher ist
ein Element in der Lokalisierung
, und dieses wird auf
geschickt.
Zur Injektivität sei
gegeben mit
und vorausgesetzt, dass es als Element im Halm
ist. Dies bedeutet, dass es eine offene Umgebung
von
gibt, auf der
die Nullfunktion ist. Wir können annehmen, dass diese offene Menge die Form
hat. Wegen
Fakt
gibt es dann auch eine Beschreibung
.
Das heisst nach
Fakt,
dass
in
ist. Dann ist auch
in der Lokalisierung.