Ein Element
liefert direkt eine algebraische Funktion auf ganz
, was einen
-Algebrahomomorphismus
-
ergibt. Wenn dabei
an jedem Punkt die Nullfunktion induziert, so ist nach
Fakt
und wegen der Reduziertheit auch
.
D.h. die Abbildung ist injektiv.
Es sei nun
ein algebraische Funktion. Dann gibt es zu jedem Punkt
zwei Elemente
mit
und mit
auf
. Die
bilden eine offene Überdeckung von
und das bedeutet nach
Fakt,
dass die
in
das
Einheitsideal
erzeugen. Dann gibt es aber auch eine endliche Auswahl davon, die das Einheitsideal erzeugen, sagen wir
,
.
Dann wiederum überdecken diese
,
,
ganz
.
Auf den Durchschnitten
haben wir die Identitäten
-
Daraus folgt nach
Fakt
und der Reduziertheit, dass
-

in
gilt. Wir ersetzen
durch
und
durch
. Dann ist nach wie vor
eine lokale Beschreibung für
, und die letzte Bedingung vereinfacht sich zu
-

Da die
das Einheitsideal erzeugen, gibt es Elemente
mit
-

in
. Wir behaupten, dass das Element
-

auf ganz
die Funktion
induziert. Dazu sei
ein beliebiger Punkt, und zwar sei ohne Einschränkung
.
Dann ist
