K-Spektrum/Ring der algebraischen Funktionen/U subseteq D(f)/Unabhängigkeit/Fakt/Beweis

Beweis

Natürlich hängen die stetigen Funktionen auf ${}U$ nur von ${}U$ selbst ab, nicht von einem umgebenden Raum. Wir müssen zeigen, dass die lokal-algebraische Bedingung ebenfalls nur von ${}U$ abhängt. Es sei ${}P\in U$. Eine Beschreibung

$\varphi ={\frac {G}{H}}{\text{ auf }}D(H){\text{ mit }}P\in D(H){\text{ und mit }}G,H\in R$

liefert sofort eine Beschreibung als Bruch auf ${}D(HF)$, da man ja ${}H,G$ sofort in ${}R_{F}$ auffassen kann.

Es liege nun umgekehrt eine Bruchdarstellung

$\varphi ={\frac {\tilde {G}}{\tilde {H}}}{\text{ auf }}D({\tilde {H}}){\text{ mit }}P\in D({\tilde {H}}){\text{ und mit }}{\tilde {G}},{\tilde {H}}\in R_{F}$

vor. Es sei ${}{\tilde {G}}=G/F^{r}$ und ${}{\tilde {H}}=H/F^{s}$. Dann gilt für jeden Punkt ${}Q\in D(HF)$ die Gleichheit

${}\varphi (Q)={\frac {{\tilde {G}}(Q)}{{\tilde {H}}(Q)}}={\frac {G(Q)/F^{r}(Q)}{H(Q)/F^{s}(Q)}}={\frac {G(Q)F^{s}(Q)}{H(Q)F^{r}(Q)}}\,.$

Dabei haben wir im letzten Schritt mit ${}F^{r+s}$ erweitert. In der letzten Darstellung sind Zähler und Nenner aus ${}R$, und es ist ${}HF^{r}(P)\neq 0$, also ist ${}D(HF^{r})$ eine offene Umgebung von ${}P$.

Zur bewiesenen Aussage