Natürlich hängen die stetigen Funktionen auf
nur von
selbst ab, nicht von einem umgebenden Raum. Wir müssen zeigen, dass die lokal-algebraische Bedingung ebenfalls nur von
abhängt. Es sei
.
Eine Beschreibung
-
liefert sofort eine Beschreibung als Bruch auf
, da man ja
sofort in
auffassen kann.
Es liege nun umgekehrt eine Bruchdarstellung
-
vor. Es sei
und
. Dann gilt für jeden Punkt
die Gleichheit
-

Dabei haben wir im letzten Schritt mit
erweitert. In der letzten Darstellung sind Zähler und Nenner aus
, und es ist
,
also ist
eine offene Umgebung von
.