KXY/(X,Y)/Kein Hauptideal/Aufgabe/Lösung
Nehmen wir an, dass
mit einem Polynom ist. Dann ist insbesondere und . Betrachtet man die erste Gleichung als Gleichung in , so ergibt sich, dass zu assoziiert oder eine Einheit ist. Unter Berücksichtigung der zweiten Gleichung folgt, dass eine Einheit sein muss. In diesem Fall ist aber
![{\displaystyle {}F\in K[X,Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cdd276c30878fe836807b6fb354066c3d994817)
![{\displaystyle {}(K[Y])[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26331e4e877334d5482936612c6983bb2eaaeee9)
![{\displaystyle {}(X,Y)\subset (F)=K[X,Y]\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23bb0fe53c89e734ed296502eda609c63839d2ff)
da keine Linearkombination von und
gleich ist.
