Kathetensatz/Lineare Algebra/Fakt/Beweis

Beweis

Wir setzen ${}v=C-A$ und ${}w=B-C$ . Der Verbindungsvektor von ${}A$ nach ${}B$ ist dann gleich ${}v+w$ . Wir setzen den Höhenfußpunkt als

{}D=A+\lambda (v+w)\,

mit einem ${}\lambda \in \mathbb {R}$ und den Richtungsvektor der Höhe als

{}h=C-D=A+v-A-\lambda (v+w)=v-\lambda (v+w)\,

an. Die Orthogonalitätsbedingung für die Höhe führt auf

{}{\begin{aligned}0&=\left\langle v-\lambda (v+w),v+w\right\rangle \\&={\left(1-\lambda \right)}\left\langle v,v\right\rangle -\lambda \left\langle w,w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle -\lambda {\left(\left\langle v,v\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle \right)}\end{aligned}}

und somit ist

{}\lambda ={\frac {\left\langle v,v\right\rangle }{\left\langle v,v\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle }}\,.

Daher ist

{}{\begin{aligned}d(A,D)\cdot d(A,B)&=\lambda \Vert {v+w}\Vert \cdot \Vert {v+w}\Vert \\&=\lambda \left\langle v+w,v+w\right\rangle \\&=\lambda {\left(\left\langle v,v\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle \right)}\\&=\left\langle v,v\right\rangle \\&=\Vert {v}\Vert ^{2}\\&=d(A,C)^{2}.\end{aligned}}